Hur löser man cirkelns
•
Cirklar
I det här avsnittet ska vi gå igenom en annan viktig typ av geometrisk figur, nämligen cirklar. Vi kommer bland annat att lära oss hur vi kan beskriva en cirkel, vad talet pi är för något och hur vi beräknar en cirkels omkrets och area.
Radie och diameter
En cirkel är en rund geometrisk figur som utgår från en medelpunkt. På ett visst avstånd från medelpunkten finns vad som ibland kallas cirkelns periferi, vilket är den rundade kurva som bildar själva cirkelns form. Avståndet från medelpunkten till periferin kallas cirkelns radie (r) och är lika stort oavsett vilken punkt på periferin vi väljer.
Om vi har en rät linje som går mellan två punkter på en cirkels periferi och som passar genom medelpunkten, så kallar vi den sträckan cirkelns diameter (d).
I figuren här nedanför är både radien r och diametern d markerade.
En cirkels diameter är alltid dubbelt så lång som cirkelns radie:
$$ d=2r$$
Cirklars omkrets och talet pi (π)
När vi unders
•
10. Cirkeln
Diskutera parvis. Vad är följande delar i en cirkel
- mittpunkt
- radie
- diameter
- korda
Lösning
Radie är avståndet från mittpunkten till omkretsen. Diametern är avståndet från kant till kant genom mittpunkten i cirkeln. Kordan är en sträcka från kant till kant i cirkeln.
Omkretsen, periferin, för en cirkel är \( p=\pi d = 2\pi r \).
Värdet för \( \pi \) är alltså förhållandet mellan omkretsen och diametern. Eftersom alla cirklar är sinsemellan likformiga får vi alltid samma värde på \( \pi \). Här kan du läsa mera om \( \pi \).
Arean för en cirkel är \( A=\pi r^2 \).
Exempel 1 En cirkels omkrets är 15,0 cm. Bestäm arean av cirkeln.
Lösning
Omkretsten, periferin, får vi via \( p=2\pi r \) så har vi att
\( \begin{array}{rcll} 15 & = & 2\pi r & \mid /(2\pi)\\ r & = & \dfrac{15}{2\pi}\\ & = & 2,38\ldots \text{cm}\\ \end{array} \)
Då är arean \( A=\pi r^2 = \pi (2,38\ldots)^2 =17,90\ldots \) cm2. Alltså 17,9 cm2.
Exempel 2 En kvadrat omskrivs
•
Enhetscirkeln och perioder
I det förra avsnittet repeterade vi de grundläggande trigonometriska sambanden och såg att det för vissa vinkelstorlekar finns exakta trigonometriska värden. I Matte 3-kursen har vi tidigare stött på enhetscirkeln, som vi kan använda för att analysera sambanden mellan vinklar och trigonometriska värden.
Det här avsnittet innebär en repetition av enhetscirkeln och även en bekantskap med begreppet period, som kommer att återkomma mycket när vi har att göra med trigonometriska värden.
Enhetscirkeln
När vi tidigare studerade de grundläggande trigonometriska sambanden utgick vi från rätvinkliga trianglar, där storleken på de spetsiga vinklarna måste ligga i intervallet 0° ≤ v ≤ 90°. I och med användningen av enhetscirkeln har vi expanderat definitionerna av de trigonometriska sambanden till att gälla godtyckligt stora vinklar, till exempel vinklar som är större än 90° eller mindre än 0° (negativa vinkelstorlekar).
Enhetscirkeln är centrerad i origo (